Mejor conocido por su trabajo en las producciones teatrales de The History Boys, Guys and Dolls y varias otras obras, Parker también ha sido visto en varias series de televisión y en las películas Valkyrie y The Lady in the Van. En el 2016, consiguió el papel titular en Harry Potter and the Cursed Child.
Entrenó en la Real Academia de Artes Dramáticas, graduándose en el 2002.
Ha prestado su voz para programas de radio de la BBC Radio 4, incluyendo a Frankenstein, Pride and Prejudice y Hamlet.
Tiene un hijo con la actriz Deborah Crowe.
Arthur Bowen consiguió el papel de James Sirius Potter, el hijo del personaje de Harry Potter de Parker.
